Matma

[Siffy]

1. Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n, liczby

n ,n^5,n⁹,n¹³,n¹⁷

mają jednakowe cyfry jedności.

2. Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym AD+BC = CD. Dwusieczne

kątów BCD i CDA przecinają się w punkcie S. Udowodnij, że AS = BS.

3. Liczba naturalna n jest co najmniej trzycyfrowa. Jeżeli pomiędzy cyfrę setek a cyfrę dziesiątek tej liczby

wpiszemy znak mnożenia, to po wykonaniu mnożenia otrzymamy połowę liczby n. Wyznacz wszystkie liczby n

o tej własności.

4. W balu wzięło udział 102 królewiczów i 103 królewny. Po balu okazało się, że każdy królewicz zatańczył

z taką samą liczbą królewien. Udowodnij, że pewne dwie królewny zatańczyły z taką samą liczbą królewiczów.

 

Zadanie 5.

5. Odcinki AD i BE są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC. Po

zewnętrznej stronie trójkąta ABC zbudowano kwadrat ABKL oraz

prostokąty BDMN i AEP Q, przy czym BN = BC oraz AQ = AC.

Udowodnij, że suma pól prostokątów BDMN i AEP Q jest równa

polu kwadratu ABKL.

6. W ostrosłup SABCD, którego podstawą jest czworokąt wypukły

ABCD, można wpisać sferę. Udowodnij, że

<)ASB +<)CSD = <)BSC +<)DSA.

7. Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite n, dla których liczba

n

3 −7n jest kwadratem liczby całkowitej.

 

Będzie limit lajków.

Edytowane 17 Października 2012 przez Siffy

[Siffy]

Bump.

[Mateq]

http://www.omg.edu.pl/uploads/attachments/1etap12.pdf

 

Nie róbcie, chocia

Edytowane 20 Października 2012 przez Mateq