[mat]-[waŻne] Udowodnić Poprawość Wzoru

[OdbytowyGrzyb]

Wiec otrzymałem straszne zadanie domowe

tamatyka :(sinus, cosinus, cotangens, tangens) - jeśli nei wiesz co to jest daruj sobie

nie wiem jak się za to zabrać dostaliśmy tylko wskazówke, że trzeba wyprowadzić wysokosc z odpowiedniego wieszchołka do odpowiedniego boku..

Tutaj pic :

jest to dowolny trojkat i trzeba udowodnic poprawnosc tego wzoru

 

Pozdrawiam licze na pomoc :<

[Propagandhi]

 

Jak we wskazówce: rysujesz wysokość z któregoś wierzchołka (najlepiej tam gdzie nie ma kąta alfa). Powstają dwa trójkąty prostokątne. Skoro są prostokątne i c^2 występuje we wzorze, to możesz kombinować tak, żeby wykorzystać twierdzenie Pitagorasa dla tego trójkąta, w którym przeciwprostokątną jest bok c. Żeby tam to twierdzenie zastosować musisz znać wysokość h i odcinek x.

 

Z funkcji trygonometrycznych dla górnego trójkąta masz zależność:

 

sin(alfa) = h/a

stąd:

h = sin(alfa)*a

 

Liczymy x z twierdzenia Pitagorasa dla górnego trójkąta:

h^2 + x^2 = a^2, podstawiając obliczone wcześniej h:

(sin(alfa)*a)^2 + x^2 = a^2

sin(alfa)^2 * a^2 + x^2 = a^2

x^2 = a^2 - sin(alfa)^2 * a^2, wyciągam a^2 przed nawias:

x^2 = a^2 * (1-sin(alfa)^2)

 

Człon 1-sin(alfa)^2 możesz zastąpić cos(alfa)^2, ponieważ:

Z "jedynki trygonometrycznej": sin(alfa)^2 + cos(alfa)^2 = 1, stąd:

cos(alfa)^2 = 1 - sin(alfa)^2

 

x^2 = a^2 * cos(alfa)^2, wyciągam pierwiastek:

x = a*cos(alfa)

 

Wreszcie dla dolnego trójkąta z twierdzenia pitagorasa:

 

c^2 = h^2 + (b-x)^2

 

Podstawiamy obliczone h i x:

 

c^2 = (sin(alfa)*a)^2 + (b - a*cos(alfa))^2

c^2 = sin(alfa)^2 *a^2 + b^2 - 2*b*a*cos(alfa) + a^2*cos(alfa)^2

 

Jak to trochę uporzadkujesz, to a^2 mozna wyciągnąć przed nawias:

c^2 = a^2*(cos(alfa)^2 + sin(alfa)^2) + b^2 - 2*a*b*cos(alfa)

 

W wzorze za (cos(alfa)^2 + sin(alfa)^2) możesz podstawić 1, bo to wynika z jedynki trygonometrycznej:

 

c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(alfa)

 

c.n.u.

[OdbytowyGrzyb]

Dziękuje ! mistrzu ;x!

bardzo mi pomogłeś musze to teraz dobrze zrozumieć i przedstawić nauczycielce

 

Pozdrawiam